これまでの授業で、「順列」と「組合せ」の基本的な解法はしっかり身に着いたかな？ ここからは計3回の授業で、「順列」と「組合せ」の知識を応用させて解く問題を扱っていこう。

第1回は 「同じものを含む順列」 を学習しよう。

「順列_nP_r」とは、「 異なる n個のものからr個を取り出して1列に並べるときの場合の数」のことだったね。

今回考えるのは、並べるものの中に「 同じもの が含まれている」んだ。例えば、「4,5,5,6,6,6の6個の数字をすべて使って6ケタの整数をつくるときの総数」のようなパターンだね。

普通の順列と同じように₆P₆で計算してしまうと、2つある「5」や、3つある「6」の数字を すべて異なるものとして区別してしまう ことになり、場合の数を数えすぎてしまうのはわかるかな？　 同じものを区別しない ためには、次のポイントのように考えよう。

順列₆P₆で計算すると、 すべてを区別して並べてしまう わけだね。例えば「5,5」と同じものが2つある場合を考えるよ。分かりやすいように、仮に、「5₁、5₂」と番号を振っておこう。

順列はこの2つの5を別のものとして数え上げるから、
(5₁、5₂)、(5₂、5₁)
という2つのパターンが出てきてしまう。

しかし、「5₁、5₂が同じ」ならば、
(5₁、5₂)、(5₂、5₁)
は1通りなんだね。

「並んでいる」ものを「並べない」ようにする。この補正計算は、何度もやってきた操作だね。 「2つの順番」 を 「区別しない」 ようにするんだから、 2！で割る んだよ。だから、「同じものを含む順列」では次のポイントが成り立つんだね。