今回のテーマは 等差中項と等比中項の関係式 です。

これまで 等差数列 と 等比数列 について学習してきましたね。 等差数列 と 等比数列 は、隣り合う3つの項を取り出すと、それぞれ特別な関係式が成立します。次のポイントで、まずは要点だけ確認しましょう。

等差数列では、連続する３つの項の真ん中を 等差中項 と呼びます。 等差中項を2倍した数 は、 その他の2項の和に等しい のですね。

等比数列では、連続する３つの項の真ん中を 等比中項 と呼びます。 等比中項を2乗した数 は、 その他の2項の積に等しい のですね。

等差中項について、より詳しく解説していきます。

例えば、(a,b,c)と並ぶ等差数列で考えましょう。このとき真ん中の数bを 等差中項 といいます。等差数列なので公差は同じなので、 b-a=c-bとなり変形すると2b=a+c となりますね。したがって、 真ん中の数の2倍は、両サイドの数の和に等しい ことになるのです。

具体例を考えれば非常に簡単です。
初項が2、公差が3の等差数列1,4,7・・・
で考えて見ましょう。
等差数列なので1,7の中間に必ずその間の数は存在しますね。
これを公式にすると、2b=a+cになるだけです。

では等比中項についても同様に見ていきます。

例えば、(a,b,c)と並ぶ等比数列で考えましょう。このとき真ん中の数bを 等比中項 といいます。等比数列なので公比は同じなので、 b/a=c/bとなり、変形するとb²=ac となりますね。したがって、 真ん中の数の2乗は、両サイドの数の積に等しい ことになるのです。

初項2、公比2の等比数列2,4,8・・・
があるとします。
2×8=16は、中間の4²=16と等しくなりますね。
これを公式で表すとb²=acとなるだけです。

等差中項や等比中項を公式として暗記しようとすると難しく感じるかも知れません。具体例を考えて、自分で導けるようにしておきましょう。