未知数ｋの値によって放物線の位置が動く問題だよ。 「放物線とｘ軸が『接する』」 ように、ｋの値を設定しよう。
ポイントは以下の通りだよ。 「接する」 という言葉を見たら 「判別式が使えるな」 と気づけるようになろう。

ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋ｋ＋１にまずはｙ＝０を代入しよう。

ｘ²＋４ｘ＋ｋ＋１＝０
この ２次方程式の実数解の個数が、ｘ軸との共有点の個数に一致する んだね。

２次方程式の判別式をＤとすると、どんなことがわかるかな？

「接する」 から、 「判別式Ｄ＝０」 だといえるんだ。
Ｄ＝ｂ²－４ａｃ＝０に、
ａ＝１、ｂ＝４、ｃ＝ｋ＋１を代入すると、求めるｋの値が出てくるよ。