２次不等式の未知数ｍの範囲を定める問題だよ。２次不等式の「解がすべての実数」という条件が手掛かりになるね。ポイントは以下の通りだよ。条件を、数式に言い換えるのが大事だよ。

「ｘ²＋ｍｘ＋１＞０の解がすべての実数」 という手がかりが、関数ｙ＝ｘ²＋ｍｘ＋１のグラフではどのような状態かを考えよう。

上図のように、放物線「ｙ＝ｘ²＋ｍｘ＋１」が ｘ軸と共有点をもたない 状態だね。

放物線 「ｙ＝ｘ²＋ｍｘ＋１」がｘ軸と共有点をもたない ということは、
2次方程式 「ｘ²＋ｍｘ＋１＝０」は実数解をもたない よ。

よって、
ｘ²＋ｍｘ＋１＝０の判別式をＤとおくと、
Ｄ＝ｍ²－４＜０

求めたいｍについての２次不等式が出てきたよ。ｍ²－４＜０を解けば、条件を満たすｍの値の範囲を求めることができるね。