f(x)=logx/x (x＞0)の極値を求める問題です。例えば，ある関数の曲線が，上がって（↗），下がって（↘），上がる（↗）グラフを描くとしましょう。

このとき，図の曲線の左上の点が極大値，曲線の右下の点が極小値になり，極大値と極小値をあわせて極値といいます。

関数の極値を求めるときは，f'(x)の符号変化から極値をとるときのx座標を読み取ることが大事なポイントです。

f'(x)を求め，増減表を書くことで，f'(x)の符号変化がわかりますね。f'(x)が正から負に変わるときは，グラフが↗から↘になるので極大値をとります。f'(x)が負から正に変わるときは，グラフが↘から↗になるので極小値をとります。このポイントをおさえたうえで，f(x)=logx/x (x＞0)の極値を求めていきましょう。

まずは， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)=(logx/x)'
商の微分公式より，
f'(x)の分母
(x)²=x²
f'(x)の分子
(logx)'x-logx(x)'=(1/x)x-logx=1-logx
よって，
f'(x)=(1-logx)/x²
と求まります。

次に， ②f'(x)=0を解きます 。
f'(x)=(1-logx)/x²において，x＞0より， x²は必ず正の値になることから， f'(x)=0のとき，1-logx=0 つまり x=e とわかりますね。

③増減表 を書きましょう。このとき，f'(x)=(1-logx)/x²において，符号を決定するのは分子の(1-logx)の式だと頭に入れておくと，増減表が書きやすくなります。

増減表の一番上の段には，xの値を書きます。f'(x)=0となるときのxの値eを入れています。真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。0＜x＜eのときに(1-logx)＞0となるのでf'(x)は正ですね。e＜xのときに(1-logx)＜0となるのでf'(x)は負です。一番下の段には，f(x)の増減を書き入れます。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。

今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで，極値がわかります。

f'(x) は，x=e を分岐点として，符号が正から負に変わっています。グラフが↗から↘になるので 極大値f(e) をとることがわかります。

あとは，x=eを，f(x)=logx/xに代入すれば答えが出てきますね。