f(x)=(√3)x+2cosx (0＜x＜π)の極値を求める問題です。関数の極値は，次の3つの手順にしたがって求めます。

手順③の増減表では，f'(x)の符号が変わる分岐点を意識しましょう。f'(x)=0の解に注目して，その前後のf'(x)の符号を確認していくとスピーディーに増減表が書けます。

まずは， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)=√3(x)'+2(cosx)'=√3-2sinx

次に， ②f'(x)=0を解きます 。
f'(x)=√3-2sinxより，
f'(x)=0のとき，2sinx=√3
0＜x＜πより，
x=(π/3)，(2π/3) とわかりますね。

③増減表 を書きましょう。一番上の段には，xの値を書きます。0＜x＜πより，x=0を左端として，f'(x)=0となるときのxの値(π/3)，(2π/3)を入れ，x=πを右端に書きます。

真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。符号を確認するときは，f'(x)=0の解の前後の値を代入すると，調べやすくなります。例えば， 0＜x＜(π/3) の符号は，x=π/6をf'(x)に代入します。同様に， (π/3)＜x＜(2π/3) の符号はx=(π/2)， (2π/3)＜x＜π の符号はx=(5π/6)を代入して調べます。

f'(x)の符号が，
0＜x＜(π/3) のとき正
(π/3)＜x＜(2π/3) のとき負
(2π/3)＜x＜π のとき正
とわかりましたね！ これらを増減表の真ん中の段に書き入れ，一番下の段には，f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。

今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで，極値がわかります。

f'(x) は，x=(π/3) を分岐点として，符号が正から負に変わっています。グラフが↗から↘になるので 極大値f(π/3) をとることがわかります。また， f'(x) は，x=(2π/3) を分岐点として，符号が負から正に変わっています。グラフが↘から↗になるので 極小値f(2π/3) をとることがわかります。

あとは，x=(π/3)，(2π/3)を，f(x)=(√3)x+2cosxに代入すれば答えが出てきますね。