f(x)=x+(4/x)の極値を求める問題です。関数の極値は，次の3つの手順にしたがって求めます。

手順③の増減表では，f'(x)の符号が変わる分岐点を意識しましょう。 f'(x)=0の式のうち，「符号を決定する式」 を発見しておくとスピーディーに増減表が書けます。また，今回のように 分数関数 を扱うときは，分母が0になるときのxの値に注意してください。f(x)=x+(4/x) は，分母が0になるx=0の値はとれません。分母が0になるところで，グラフは途切れるのです。

このポイントをおさえたうえで，実際に問題を解いていきましょう。

まずは， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)=(x)'+(4x^-1)'=1-4x^-2=(x²-4)/x²
このとき x≠0 です。

次に， ②f'(x)=0を解きます 。
f'(x)=(x²-4)/x²より，
f'(x)=0のとき，x²-4=0
つまり，
x=±2 とわかりますね。

③増減表 を書きましょう。一番上の段には，xの値を書きます。f'(x)=0となる x=±2 に加え，分母が0となるxの値0を書き込んでおきます。

真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。f'(x)=(x²-4)/x²において，分母は正の値なので， (x²-4) がf'(x)の符号を決めます。それぞれの範囲の符号を調べると，

x≠0となるので，x=0のときのf'(x)，f(x)は値がないことに注意してください。一番下の段には，f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。

今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで，極値がわかります。

f'(x) は，x=-2 を分岐点として，符号が正から負に変わっています。グラフが↗から↘になるので 極大値f(-2) をとることがわかります。また， f'(x) は，x=2 を分岐点として，符号が負から正に変わっています。グラフが↘から↗になるので 極小値f(2) をとることがわかります。また，x=0のときのf(x)の値はなく，グラフは途中でちぎれることになります。

あとは，x=-2，2を，f(x)=x+(4/x)に代入すれば答えが出てきますね。