f(x)=e^x/(x-3)の極値を求める問題です。関数の極値は，次の3つの手順にしたがって求めます。

手順③の増減表では，f'(x)の符号が変わる分岐点を意識しましょう。 f'(x)=0の式のうち，「符号を決定する式」 を発見しておくとスピーディーに増減表が書けます。また，今回のように 分数関数 を扱うときは，分母が0になるときのxの値に注意してください。f(x)=e^x/(x-3) は，分母が0になるx=3の値はとれません。分母が0になるところで，グラフは途切れるのです。

このポイントをおさえたうえで，実際に問題を解いていきましょう。

まずは， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={e^x/(x-3)}'
商の微分公式より，
f'(x)の分母
(x-3)²
f'(x)の分子
(e^x)'(x-3)-e^x(x-3)'=e^x(x-3)-e^x
よって，
f'(x)=e^x(x-4)/(x-3)²
このとき x≠3 です。

次に， ②f'(x)=0を解きます 。
f'(x)=e^x(x-4)/(x-3)²より，
f'(x)=0のとき，x-4=0
つまり，
x=4 とわかりますね。

③増減表 を書きましょう。一番上の段には，xの値を書きます。f'(x)=0となる x=4 に加え，分母が0となるxの値3を書き込んでおきます。

真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。f'(x)=e^x(x-4)/(x-3)²において，分母(x-3)²は正，分子のe^xは正なので， (x-4) がf'(x)の符号を決めます。それぞれの範囲の符号を調べると，

x≠3となるので，x=3のときのf'(x)，f(x)は値がないことに注意してください。一番下の段には，f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。

今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで，極値がわかります。

f'(x) は，x=4 を分岐点として，符号が負から正に変わっています。グラフが↘から↗になるので 極小値f(4) をとることがわかります。また，x=3のときのf(x)の値はなく，グラフは途中でちぎれることになります。

あとは，x=4を，f(x)=e^x/(x-3)に代入すれば答えが出てきますね。