f(x)=x√(x+2)の極値を求める問題です。関数の極値は，次の3つの手順にしたがって求めます。

手順③の増減表では，f'(x)の符号が変わる分岐点を意識しましょう。 f'(x)=0の式のうち，「符号を決定する式」 を発見しておくとスピーディーに増減表が書けます。また，今回のように 無理関数 を扱うときは，注意点が2つあります。1つは， xがとりうる範囲(定義域) を定めること。ルートの中身は0以上と約束されているので，f(x)=x√(x+2)は， x≧-2 と制限されています。2つ目は，分母が0になるときのxの値です。無理関数を微分するとき，f'(x)が分数関数になることがあります。f'(x)の分母が0になるxの値はとることができません。

このポイントをおさえたうえで，実際に問題を解いていきましょう。

計算を始める前に，定義域を確認します。ルートの中身は0以上と約束されているので， x≧-2 ですね。

次に， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={x√(x+2)}'
積の微分公式より，
f'(x)=(x)'{√(x+2)}+x{√(x+2)}'=√(x+2)+x×{1/2√(x+2)}
よって，
f'(x)=(3x+4)/2√(x+2)
このとき x≠-2 です。

さらに， ②f'(x)=0を解きます 。
f'(x)=(3x+4)/2√(x+2)より，
f'(x)=0のとき，3x+4=0
つまり，
x=-4/3 とわかりますね。

③増減表 を書きましょう。一番上の段には，xの値を書きます。x≧-2 より，x=-2を左端に記入し，f'(x)=0となる x=-4/3 を書き込んでおきます。

真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。f'(x)=(3x+4)/2√(x+2)において，分母は正なので， (3x+4) がf'(x)の符号を決めます。それぞれの範囲の符号を調べると，

分母が0となるので，x=-2のときのf'(x)は値がないことに注意してください。一番下の段には，f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。

今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで，極値がわかります。

f'(x) は，x=-4/3 を分岐点として，符号が負から正に変わっています。グラフが↘から↗になるので 極小値f(-4/3) をとることがわかります。

あとは，x=-4/3を，f(x)=x√(x+2)に代入すれば答えが出てきますね。