f(x)=(x²+x+a)/(x-1)がx=-1で極値をとるように，定数aの値を定める問題です。これまでの問題では関数の極値を求めてきましたが，この問題では 「x=-1で極値をとる」 という条件を手掛かりにして，未知数aの値とf(x)の極値を求めます。

計算を始める前に，定義域を確認します。分母の0はNGと約束されているので， x≠1 ですね。

次に，導関数f'(x)を計算しましょう。
f'(x)={(x²+x+a)/(x-1)}'
商の微分公式より，
f'(x)の分母
(x-1)²
f'(x)の分子
(x²+x+a)'(x-1)-(x²+x+a)(x-1)'=(2x+1)(x-1)-(x²+x+a)
よって，
f'(x)=(x²-2x-1-a)/(x-1)²
このとき x≠1 です。

いまx=-1で極値をとることがわかっていますね。このとき， f'(-1)=0 が成り立ちます。極値をとるときの導関数の値は必ず0になりました。したがって， f'(-1)=0 は必要な条件になるのです。
f'(-1)={(-1)²-2×(-1)-1-a}/(-1-1)²=0
これを解いて，
a=2 であるとわかります。

未知数aの値がわかったら，f'(x)にa=2を代入して，導関数の式を明らかにしましょう。

上の式より， f'(x)=0の解がx=-1，3 であるとわかりましたね。これをもとに，増減表 を書きましょう。一番上の段には，xの値を書きます。f'(x)=0となる x=-1，3 に加えて，f(x)，f'(x)の分母が0となるx=1 を書き込んでおきます。

真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。f'(x)=(x+1)(x-3)/(x-1)²において，分母は正なので， (x+1)(x-3) がf'(x)の符号を決めます。それぞれの範囲の符号を調べると，

分母が0となるので，x=1のときのf(x)，f'(x)は値がないことに注意してください。一番下の段には，f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。

f'(x)の符号は，x=-1を分岐点にして正から負に変わっています。f(x)は，a=2のとき確かにx=-1で極値をとると言えますね。

最後に，f(x)の極値を求めましょう。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで，極値がわかります。

f'(x) は，x=-1 を分岐点として，符号が正から負に変わっています。グラフが↗から↘になるので 極大値f(-1) をとることがわかります。また f'(x) は，x=3 を分岐点として，符号が負から正に変わっています。グラフが↘から↗になるので 極小値f(3) をとることがわかります。

あとは，x=-1，3を，f(x)に代入すれば答えが出てきますね。

解法のポイントはつかめましたか？ 「x=pで極値をとる」 という条件は，2つの大事な情報を私たちに教えてくれます。

まず，x=pで極値をとるということは， ①f'(p)=0 であることが言えますね。極値をとるときの導関数の値は必ず0になりました。したがって， ①f'(p)=0 は必要な条件です。

さらに，曲線y=f(x)のグラフをイメージしてください。y=f(x)のグラフにおいて，下がって(↘)，上がる(↗)点が極小値で，上がって(↗)，下がる点が極大値でした。ようするに，x=pで極値をとるということは， ②x=pの前後で導関数の符号が変化 しているのです。

極値の存在条件は，定期試験や大学入試でも定番の問題です。しっかりおさえておきましょう。