f(x)=(1+sinx)cosx (0≦x≦π)の最大値，最小値を求める問題です。これまでの問題ではf(x)の極値を求めてきましたが，今回からは最大値・最小値を求めます。……といっても，解法はほとんど変わりません。関数の最大値・最小値は，次の3つの手順にしたがって求めます。

増減表の中には極大値や極小値が登場しましたね。この極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して，最大値・最小値を求めていきます。

まず， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={(1+sinx)cosx}'
積の微分公式より，
f'(x)=(1+sinx)'cosx+(1+sinx)(cosx)'
　　　=cos²x+(1+sinx)×(-sinx)
　　　=cos²x-sin²x-sinx
f'(x)=0の値がわかるように，この式を変形して因数分解します。
f'(x) =cos²x-sin²x-sinx
　　　=(1-sin²x)-sin²x-sinx
　　　=-(2sin²x+sinx-1)
　　　=-(2sinx-1)(sinx+1)

次に， ②f'(x)=0を解きます 。
0＜x＜πより，0＜sinx＜1ですね。
f'(x)=-(2sinx-1)(sinx+1)より，
f'(x)=0のとき，2sinx-1=0=0
sinx=(1/2) つまり x=(π/6)，(5π/6) とわかりますね。

③増減表 を書きましょう。一番上の段には，xの値を書きます。0≦x≦π より，x=0を左端，x=πを右端に記入し，f'(x)=0となる x=(π/6)，(5π/6) を書き込んでおきます。

真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。f'(x)=-(2sinx-1)(sinx+1)において，(sinx+1)＞0より，-(2sinx-1)の符号に着目します。それぞれの範囲の符号を調べると，

一番下の段には，f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。また，両端であるf(0)，f(π)は具体的な値を求めておきます。f(0)=(1+sin0)cos0=(1+0)×1=1，f(π)=(1+sinπ)cosπ=(1+0)×(-1)=-1より，

今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。極大値f(π/6)・極小値f(5π/6)の値も求めましょう。

左端点 f(0)=1
極大値 f(π/6)=(3√3)/4
極小値 f(5π/6)=-(3√3)/4
右端点 f(π)=-1
より，f(5π/6)＜f(π)＜f(0)＜f(π/6)ですね。

解法のコツはつかめましたか？ ポイントをまとめると以下のようになります。