f(x)=x/(x²+1) (-3≦x≦3)の最大値，最小値を求める問題です。関数の最大値・最小値は，次の3つの手順にしたがって求めます。

増減表の極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して，最大値・最小値を求めていきます。

f(x)は分数関数ですが，分母(x²+1)は正の値で0になることはありません。定義域-3≦x≦3に特別な制限はありませんね。

まず， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={(x/(x²+1)}'
商の微分公式より，
f'(x)の分母
(x²+1)²
f'(x)の分子
(x)'(x²+1)-x(x²+1)'=(x²+1)-x×2x
よって，
f'(x)=(1-x²)/(x²+1)²

次に， ②f'(x)=0を解きます 。
f'(x)=(1-x²)/(x²+1)²より，
f'(x)=0のとき，1-x²=0
つまり， x=±1 とわかりますね。

③増減表 を書きましょう。一番上の段には，xの値を書きます。-3≦x≦3 より，x=-3を左端，x=3を右端に記入し，f'(x)=0となる x=±1 を書き込んでおきます。

真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。f'(x)=(1-x²)/(x²+1)²において，(分母)＞0より，(1-x²)の符号に着目します。それぞれの範囲の符号を調べると，

一番下の段には，f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。また，両端であるf(-3)，f(3)，極値であるf(-1)，f(1)は具体的な値を求めておきます。

今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。
左端点 f(-3)=3/10
極小値 f(-1)=-1/2
極大値 f(1)=1/2
右端点 f(3)=3/10
より，f(-1)＜f(-3)＜f(3)＜f(1)ですね。

解法のコツはつかめましたか？ ポイントをまとめると以下のようになります。