f(x)=x√(4-x²) (-1≦x≦2)の最大値，最小値を求める問題です。関数の最大値・最小値は，次の3つの手順にしたがって求めます。

増減表の極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して，最大値・最小値を求めていきます。

f(x)は無理関数なので，ルートの中身が0以上である必要があります。4-x²≧0つまり-2≦x≦2です。ただし，問題文で与えられた-1≦x≦2は，-2≦x≦2を満たしているので，今回は特に考慮する必要がありません。

まず， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={x√(4-x²)}'
積の微分公式より，
f'(x) =(x)'√(4-x²)+x{√(4-x²)}'
これを計算すると，

次に， ②f'(x)=0の解 を求めます。f'(x)の分母√(4-x²)は，-1≦x＜2のとき正の値となるので，(分子)=2(2-x²)=0です。

2-x²=0
⇔x=±√2
ですが，-1＜x＜2より，x=√2となります。

③増減表 を書きましょう。一番上の段には，xの値を書きます。-1≦x≦2 より，x=-1を左端，x=2を右端に記入し，f'(x)=0となる x=√2 を書き込んでおきます。

真ん中の段には，f'(x)の符号を書きます。f'(x)の符号を決める(2-x²)に着目して，それぞれの範囲の符号を調べると，

一番下の段には，f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)＞0ならば増加(↗)，f'(x)＜0ならば減少(↘)ですね。また，両端であるf(-1)，f(2)，極値であるf(√2)は具体的な値を求めておきます。

今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。
左端点 f(-1)=-√3
極大値 f(√2)=2
右端点 f(2)=0
より，f(-1)＜f(2)＜f(√2)ですね。

解法のコツはつかめましたか？ ポイントをまとめると以下のようになります。