f(x)=³√x² の最大値，最小値を求める問題です。関数の最大値・最小値は，次の3つの手順にしたがって求めます。

最大値・最小値は，増減表の極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して求めるのが一般的です。ただし，今回の問題では定義域が設定されていないことに注意しましょう。

まず， ①導関数f'(x)を計算 しましょう。f(x)=(x²)^(1/3)=x^(2/3)より，
f'(x)=(x^(2/3))'
(xのp乗)の微分公式より，
f'(x) =(2/3)(x^(2/3)-1)=(2/3)(x^(-1/3)) =2/(3³√x)

次に， ②f'(x)=0の解 を求めます。
f'(x)=2/(3³√x)=0
この式は，解を持たないことに気が付きましたか？

「f'(x)=0の解がない」⇒「極値を持たない」と考えてしまいがちですが，そうではありません。x=0の前後のf'(x)の符号に注目してみましょう。
x＜0のとき，3³√x＜0より f'(x)＜0
x＞0のとき，3³√x＞0より f'(x)＞0
x=0の前後で，導関数f'(x)の符号が変化していますね！ またx=0で，f(0)=0であり，f(x)のグラフがx=0でちぎれることもありません。③増減表 を書いてみると，

y=f(x)は，x=0を分岐点に下がって(↘)，上がる(↗)グラフであることがわかりますね。このように， f'(x)=0の解がなくても極値をもつ ことがあります。

さて，今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。xが±∞に向かうとき，f(x)の極限は∞となることから，最大値なし，最小値0が答えになります。

今回の問題のポイントをまとめると以下のようになります。